Вопрос от пользователя

Найти точки экстримума функции Z=27x^2+9xy^2-27x+2y^3

Ответ редакции сайта ответик

Находим стационарные точки

1) z'(x) = 0, z'(x)= 54x + 9y^2 -27

2) z'(y) = 0, z'(y) = 18xy + 6y^2 = 6y(3x + y) => y = 0 или 3x + y = 0 =>

1)a) подставляем y = 0 в первое: 54x — 27 = 0; x = 0,5

1)б) решаем систему из 54x + 9y^2 -27 = 0 и 3x + y = 0, из второго выражаем y: y = -3x и подставляем в первое: 54x + 81x^2 — 27 = 0 => x1 = -1, x2 = 1/3; y1 = 3, y2 = -1.

М1(0,5;0), М2 (-1; 3), M3 (1/3;-1).

 

z»(x) = 54

z»(xy) = 18y

z»(y) = 18x + 12y

1) Берем М1:  z»(x)|M1 = 54 = A1; z»(xy)|M1 = 0 = B1; z»(y)|M1 = 9 = C1; D1 = A1C1 — B1^2 = 486 => D1 > 0, A1 > 0 => M1 — минимум

2) 1) Берем М2:  z»(x)|M2 = 54 = A2; z»(xy)|M2 = 54 = B2; z»(y)|M2 = 18 = C2; D2 = A2C2 — B2^2 = -1944 => D2 < 0 => в M2 экстремума нет

3) Берем М3:  z»(x)|M3 = 54 = A3; z»(xy)|M3 = -18 = B3; z»(y)|M3 = -6 = C3; D3 = A3C3 — B3^2 = -648 => D3 < 0 => в M3 экстремума нет